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科研成果

构建数学模型 促进学生数学能力的提高

发布时间:2015年10月08日 来源:戴龙 浏览次数:

构建数学模型   促进学生数学能力的提高

         数学模型是用数学语言或符号概括的或近似地表达系统规律的数学结构。数学知识都是数学模型,一切概念、公式、方程、函数及运算系统都可成为数学模型。如:自然数集是描述离散性数量的模型;直线、平面、球、圆锥是从图形的现实圆形中抽象出来的数学模型;数学中的数、代数式、方程、不等式、函数都是研究数量关系和变化规律的数学模型。

所谓数学建模,简而言之,就是建立数学模型的过程,包括对实际问题进行提炼、抽象、简化,以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展数学模型的过程。数学建模还是一种研究性学习方式,对学生问题意识、应用能力和创造能力的培养具有积极的意义。《数学课程标准》强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,使学生在理解数学的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展。《数学课程标准》还指出,教学应结合具体的数学内容,采用“问题情境—建立模型—解释、应用于拓展”的模式展开。

一、更新数学教学建模模式,促进学生“数学思考”

数学应用是一种数学意识,一种基本的观念和态度,我们强调数学应用,不是回到“测量、制图、会计”等那种忽视基础理论的邪路上去,而是要培养一种应用数学知识的意识和欲望,使数学融入人的整体素质,成为世界观的一部分。开展数学建模活动要求教师改变过去把知识按不同知识点,甚至按不同题型一点一点地“注入”到学生大脑中的灌输式教学模式,而是采用探索的方法,把数学知识的来龙去脉搞清楚,把数学的构建过程展示给学生,让学生自己体会数学知识的形成过程及其作用。

1、创设情境,激发兴趣,引发思维

发展学生的思维能力是数学教学的重要任务之一,那么教学素材的利用是否进入学生深度思维的层次,学生的思维品质是否因之而提升,学生的思维能力是否因之而提高是判断教学素材能否有效甚至是否高效达成教学目标的重要标志。

通过创设情景激发学生的学习兴趣唤起学生的知识储备。这一环节对模型的架设起着决定性作用,可以由教师直接提出问题或涉及情景引入,让学生从中提炼出比较清晰的数学问题。在这个环节,教师要学生的最近发展区,通过呈现问题引发学生思考。如:《数学广角——植树问题》时,可出示校园情景图,问:“要在校园里100米小路一边,每隔5米植一棵树。如果两端都要植树,一共要植多少棵树?”模型准备阶段,应尽可能为学生提供完整、真实的问题背景,使学生产生学习的需要。再如:教学《圆的认识》,教师导入可以这样开始:对于圆同学们一定都不陌生吧?生活中,你们在哪儿见到过圆形?(钟面、碗口……),今天老师给大家带来一些圆。见过平静的水面吗?如果我们往水里扔一颗石子(播放动态水纹配以石子入水的声音),你发现了什么?(水纹、水波、圆……)其实这样的自然现象随处可见,让我们一起来看看(伴随音乐,呈现绽放的向日葵,电磁波,雷达波……)从这些现象中你们能找到圆吗?……

教学素材不应是呆板的图片和文字,而应是学生进入学习殿堂的阶梯。贴近学生生活经验和学习经验的数学素材一旦赋予了生动的形式,就能最大限度的激发学生的求知欲。这样的设计改变了常规的借助实物揭示圆的教学模式。以“动”取胜,动态的画面点亮了学生求知的目光;以“美”激情,优美的画面拨动了学生情感的弦;以“问”引思,“从这些现象你们能找到圆吗?”搭起了生活现象通向数学思考的桥梁,把学生的思维状态一下子拉入了和谐的学习环境和心理环境中。在“生活化”和“经验化”之后巧妙地进行了“数学化”,拉近了数学素材和学生的距离,学生在不知不觉中进入了思维的轨道。

2、问题导向,激活经验,拉动思维

建模过程中学生是否完成“意义建构”,主要看学生是否主动建构和是否对知识形成深层次的理解。要想促进学生有意义的建构数学知识,教师应针对学习内容,设计具有思考价值的、有意义的现实问题,引发学生依据自己原有的经验,收集数学信息,对数学信息进行分析、推断、假设、检验、提炼、概括等,并建构相关的数学模型。

如:教学《三角形面积》一课,我们不难发现,三角形面积计算公式就是一种数学模型。在建立这个数学模型的过程中,我们不但要帮助学生获得为什么底×高÷2就是三角形面积的数学陈述性知识,而且还要帮助学生获得活动的经验,数学的思维方法、思想方法、合作交流的意识等内隐的思想和能力。教学开始,教师就要从数学内部知识之间的联系入手,向学生提出“前面的课上,我们认识过哪些图形的面积?怎样计算?哪个图形的面积给你留下了深刻的印象?,能具体讲讲吗?”等问题。这样的问题带有很强的综合性,学生要调动已有的知识、方法、思维方式等经验加以解读,同时回答将再次唤醒学生脑海里对有关面积计算,实现数学理解过程的回忆,而这是顺利开展接下来的数学活动,建构对三角形面积理解的重要基础。其次问题要具有一定的探索性和研究型,要让学生经历一个实践、探索、研究的历程,老师下一个问题就是“今天我们来学习三角形面积,我带来了四个图形,大家能不能小组合作利用这四个图形,通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的办法求出三角形面积呢?”,这个问题无论从开放性,还是思路方法,都起到了明确的导向作用,从而为学生经历建模过程,达成数学理解提供了前提。                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
   3、引导分析,自主建构,发展思维

在建模过程中,学生要不断思考,不断对各种信息进行加工、转换,同时不断激活原有的知识经验,对当前问题进行分析、综合、概括,形成假设,并对假设进行验证,从而建构知识,形成见解,建立一定的模型。这一过程为数学思维训练提供了理想的途径,为发展学生的创造性思维提供了更大的可能,体现了数学活动的本质。

数学的建模目的不仅仅是获得数学结论,更重要的是在建模的过程中内化知识、升华思想。如:还是《数学广角》的植树问题,在学生得出“植树棵树=间隔+1”后教师可引导学生讨论:“如果小路总长100米,从起点开始,每隔4米植一棵树。共有多少个间隔?可植多少棵树?”“如果间隔是50个,要植树多少棵?”“如果小路长改变了,其它条件不变,‘植树棵树=间隔+1’的规律还成立吗” 为什么植树棵树不等于间隔数而等于‘间隔数+1’呢?”这样,引导学生解释模型,能促进学生进一步理解模型“植树棵树=间隔数+1”。再如:追击问题“甲车速度是45千米/时,乙车速度是40千米/时,乙车先行50千米后,甲车才出发,几小时后甲车追上乙车?”包含了两车的距离、出发时间、速度、追击时间等因素,以及这些因素之间的关系。以建模思想为指导的教学,应引导学生重点探究这些因素 之间的关系。如:两车相距50千米,经过1小时后两车相距50-(45-40)×1(千米),经过2小时后两车相距50-(45-40)×2(千米)……这样的探究过程能调动学生的原认知结构中已有的相遇问题的经验,得出解决“追击问题”的假设模型。即:“追击路程”÷速度差=追击时间,并最终将“追击问题”的数学模型纳入原有认知结构,与“相遇问题”的模型联系起来,形成知识网络。在这个建模活动中,学生从具体的现实问题中抽象出数学结构,经历了知识发生、发展的过程,不是“接受”与“记住”别人研究的结论,而是主动建构知识,获得结构化的指示。

引导学生运用新建构的数学模型解决较复杂的问题,使学生对知识形成更深刻的理解,灵活的整合与运用数学模型,解决新现象、解决新问题。

二、丰富数学建模活动,促学生“数学的思考”

提高学生的建模能力,充分挖掘教材中蕴含的数学的思想,通过丰富数学建模的活动内容,提高学生的抽象概括能力。在概念教学中要重视其抽象的过程,向学生展示数学概念和数学图形的形成过程等,让学生经历“观察——分析和处理(简化)——抽象——检验和修改”的过程。

1、改变材料的呈现方式,促学生有效学习

同一个材料,如果呈现方式(顺序、媒介)不同,将会带来截然不同的效果。如:《分数的意义》教材呈现了三个含阴影的图形,让学生先观察并用分数表示涂色部分,然后思考:根据上面的观察,你能得到一组相等的分数吗?这样的呈现方式枯燥单一,思维含量低,学生处于被动学习状态。教学时可以先直接出示三个分数,即  ,让学生大胆猜想这三个分数的大小,然后引导学生思考可以用什么办法来验证猜想。学生交流自己的验证办法时,教师适时引导学生在三个相同大小的长方形中用阴影表示出这三个 分数(如图)再通过重叠阴影直观的验证猜想。最后,引导学生结合操作活动分析分子和分母是怎样变化的,并概括出分数的基本性质。        

将简单的图形呈现改成了“线”,呈现抽象的分数,再猜想、验证,使学习材料更符合高年级的学生的认知规律和思维特点,让学习过程充满挑战与思考。在这样的学习过程中,学生的学习积极性更高了,思维更活跃了,在操作、体验过程中对分数的基本性质理解得更深刻了。教师应结合材料的特点,合理的改变材料的呈现方式,使它更富吸引力、开放性,让学生通过体验、探索,建构自己的知识。因此,教师在使用学习材料时应该思考:能否通过改变学习材料的呈现顺序、呈现媒介和呈现状态等方式,使之更符合学生的认知规律,有利于学生的有效学习。

 2、沟通材料之间的内在联系,促学生主动建构

教学是同时呈现几个相关联的学习材料,或者由一个学习材料引发学生联想到其他相关材料,再沟通这几个材料之间的联系,促进学生类比思考,深化认识。

如:教学《乘法分配律》时,教师是这样处理多个学习材料的:(1)出示:一个长方形长5厘米,宽3厘米,怎样求周长?“学生列出算式(5+3)×2、5×2+3×2;教师追问这两个算式有什么关系,学生得出(5+3)×2=5×2+3×2。(2)要求学生用横式表示竖式计算123×3=(100+20+3)×3=100×3+20×3+3×3;(3)出示:一件上衣30元,一条裤子20元,买四套衣服多少元?”要求学生根据所给信息列出等式,引导学生得出(30+20)×4=30×4+20×4;(4)出示:“汽车和货车分别从甲乙两地相向开出,汽车每小时行驶100千米,经过3小时相遇。甲乙两地相距多少千米?”要求学生思考可以怎样列式后,引导学生得出:①可以先求两辆车每小时一共行驶多少千米,然后再求3小时行驶多少千米,列式为(80+100)×3。②可以分别求出汽车、货车3小时各行驶多少千米,再求出他们一共行驶了多少千米,列式为80×3+100×3。接着引导学生得出:(80+100)×3=80×3+100×3,并启发学生从乘法的意义的角度分析为什么这两个相等。(5)引导学生观察根据前四个学习材料得出的四组算式,分别从数字、运算符号、算式的结果、表示的实际意义等角度分析这些式子的共同点,逐步沟通其内在联系,总结出乘法分配律的基本含义。

这样呈现学习材料,利用学生已有的生活实际和熟悉的概念,引导学生从具体的学习材料中发现事物的本质属性,展示不完整归纳法的归纳过程,符合小学生的认知特点,解决了小学生思维的形象性与数学知识的高度的抽象性之间的矛盾。这样使用学习教材,沟通了材料内在的本质的联系,有利于学生自主建构知识。

3、利用身边材料,促学生主动思考。

利用儿童对各种模式的本能的好奇心,鼓励学生去了解他们周围世界中的数学。应让学生学会把复杂问题纳入已有模式之中,使之成为构建和解决新模式的思考工具。如“一列客车以每小时72千米的速度行驶,客车的司机发现对面开来一列货车,速度是每小时54千米,这列货车从他身边驶过去用了8秒钟,求这列货车的长”。可通过创设情景,让学生编题,把上述“实际问题”纳入到数学中“行程问题”的知识结构之中,接着可对这一复杂问题进行剖析,使之成为较为熟悉、较为简单的模式。策略1:把上述问题看成客车司机与货车车尾的关系,则这是一个“客车车头”与“货车车尾”的“相遇问题”,而货车车长则是相遇的距离。于是对于应用题1,可解答如下:(54000+72000)÷3600×8=280(米) 策略2:把上述问题看成客车司机与货车车头的关系,建立数学模型,则这是一个“背向而行”的问题,其解答方法与上述相同。策略3:按相对论的观点,把货车看成是静止不动的,则只须把客车速度转化为(72+54)千米/小时,就可得到一个普通的行程问题,即已知客车速度:(72+54)千米/小时和行驶的时间:8秒钟,求行驶的路程(即货车车长)。

三、优化建模的活动过程,促学生“数学地思考”

中国古代学者强调:教学有法,但无定法,贵在得法;无法之法,乃为至法,法无定法。在教学中,要处理教学活动中的各种矛盾,满足学生的不同需要,达到各种教学目标;教师要从其课型特点与功能目标出发,遵循形体知识的教学规律和小学生的认知特点;抓住知识的特点,运用系统科学理论和最优化教学理论,对教学过程的各个要素进行合理的选择、组合、变换、重构;目的是建构教学模式,创造最佳教学环境,促进课堂教学改革的深化,促进素质教育目标的实现。模式是客观存在的,一种模式必有其局限性,不能取代其他模式,掌握教学模式,在熟练运用基本模式的基础上不断更新和创造,设计新的模式和方法,最终超越模式,达到灵活组合、应用自如、出神入化、不拘一格。

1、开展丰富多彩的建模活动,引导探究。

数学实践活动不仅是学生学习数学知识的认识活动和实践过程,也是培养学生数学观念、科学态度、合作精神的过程。通过“学”与“做”的活动激发学生学习的动机和兴趣,培养学生的注意力,意志力和认真求实、追求完美、讲求效率,联系实际的学习态度和学习习惯。   

如:学习《圆柱体的认识》一课。当学生对圆柱体有了一个感性的认识之后,为培养学生的空间想象能力,以小组合作的形式制作圆柱。

师:同学们想不想亲手制作一个圆柱?老师为每组同学准备了一份材料,请你们六人合作,制作一个圆柱。比一比,哪组同学的手最巧。在制作过程中思考两个问题:(1)你们是如何选择材料制作的?(2)通过制作,你们对圆柱的特征有什么新的发现?六人合作制作圆柱,指一人代表小组介绍如何制作的。(生1:我们组从3个圆、2个长方形中选择2个完全相同的圆和1个长方形,把长方形卷成一个圆筒,粘贴成一个圆柱。我们发现,圆柱的两个底面完全相同,侧面沿高展开是一个长方形,并且长方形的长相当于圆柱底面的周长,宽相当于圆柱的高。)

师:为什么不用另一个长方形?(生1:因为另一个长方形卷起来比这两个圆大;生2:我们组从3个圆和1个长方形、1个正方形中选择了一个正方形和两个完全相同的圆,粘贴成一个圆柱。我们发现圆柱的两个底面完全相同,侧面沿高展开是一个正方形,这个正方形的边长相当于圆的底面周长和高;生3:我们组从3个圆和1个长方形、1个平行四边形中选择了一个平行四边形和两个完全相同的圆,粘贴成一个圆柱。我们发现圆柱的两个底面完全相同,侧面斜着展开是一个平行四边形,这个平行四边形的底相当于圆柱底面周长,高相当于圆柱的高。)

师:通过制作圆柱和这三个小组代表的发言,我们可以得到什么结论?(生1:圆柱的侧面沿高展开是一个长方形,当底面周长和高相等时,能得到一个正方形,斜着剪开能得到一个平行四边形。长方形的长相当于圆柱的底面周长,宽相当于圆柱的高;生2:圆柱的底面是两个完全相同的圆。)

本活动为学生提供了三种不同的材料,放手让学生动手操作,在选择合适材料的基础上,合作制作一个圆柱。通过小组交流,理解圆柱的底面是两个完全相同的圆和侧面展开图的不同情况。这样设计既加深了学生对侧面展开图的长和宽与底面周长和高的关系的理解,又培养了学生的空间想象能力和主动探索、勇于创新的精神。

2、例题选择,变特例展示为典型探究

计算法则的建构总是基于对算理的正确理解,而算理总是寓于一定的具体算式中。许多教师遵循“小步子”的原则,选择特例引导学生探究。这种通过“去枝留干”处理特殊数学教材,虽然分散了教学难点,但失去了典型性、代表性,影响甚至异化了学生对计算算理的理解,束缚了他们对计算法则的建构。教师要精心选择突出基本本质的有代表性的素材,让学生深入思考,真正触及算理,提升学生对基本法则的建构水平。如:教学人教版“除数是小数的除法”时,教材通过“编一个中国结要0.85米的丝绳,,7.65米的丝绳可以编几个中国结”的问题情景引出7.65÷0.85,引入小数除法算式,并将7.65÷0.85转化成了765÷85。这个算式里被除数与除数都是两位小数,这样位数相同的小数除法算式是小数除法的一个特例。在计算中被除数与除数的小数点“消失”了,会让学生误认为只要把小数除法中被除数、除数的小数点同时去掉变成整数除法就行了。这个情景忽略了对“怎样移动被除数、除数小数点”的探究,制约了学生对小数除法法则的深入思考与正确建构。如果改称7.68÷0.8,就能让学生在小数位数不同的具有普遍性的情境中思考“被除数与除数的小数位数不同,该怎么办”、“该怎样移动它们的小数点?根据是什么?”,就能充分展示小数除法的思维过程,引发学生对小数移动规律的探索,让学生更深刻地认识到小数计算法则的本质。

3、优化练习,引发学生深入思考

结合开放题的教学研究,变封闭问题为多余条件或答案不唯一的开放性应用题,发展学生的思维能力,提高学习兴趣。如把“3×5=?”改为“构造一些的运算,其答案为15的问题”,又如 “10元钱可有几种组成方式?”等,开始时,学生竟然无从下手,通过交流和合作,随着各种解答方案的展示,同学们变得兴趣盎然起来,把学习数学变成了一桩乐事。再如让学生解答:0.5, 1.5, 4.5, ……。此题也许是1/2,3/2,9/2,从而答案为27/2=13.5;但也许是0.5, 0.5+1, 1.5+3, 从而答案为4.5+5=9.5,教师应当表扬不同的想法,以提高学生的学习兴趣。

总之,在数学建模活动中,学生从已有生活经验出发,用数学的眼光观察生活,经历从生活原型建构数学模型并用数学模型解决实际问题的过程。这个过程能让学生充分的经历和体验数学知识是如何从生活经验中提炼出来又应用于现实生活的。在建模过程中,学生要不断思考,不断对各种信息进行加工、转换,同时不断激活原有的知识经验,对当前问题进行分析、综合、概括,形成假设,并对假设进行验证,从而建构知识形成见解,建立一定的模型。这一过程为数学思维训练提供了理想的途径,为发展学生的创造性思维提供了更大的可能,体现了数学活动的本质。数学建模活动为学生提供了充满探索与交流、猜测与验证的活动平台,能促进学生的发展、学习积极性和主动性的提升。